入試数学 図形問題 解法パターン総整理

未分類

はじめに

 この記事では、大学入試における図形問題の解法パターンを紹介していきます。図形問題は苦手な人が多いですよね。多くの方がつまずく壁として、第一手の選択があります。つまり、どう解き始めれば良いのか迷い、手も足も出ないように感じるのです。問題を見てもどこから手をつけるのか分からない、そんな経験が減るよう図形問題のとっかかり方に的を絞って書いていきます。

 そもそもですが、図形問題のとっかかり方には幾つか種類があることを意識できていますか?問題を見てなんとなく解き方を考えているようでは甘いです。それぞれの解き方の特徴を熟知して、問題に合わせて選択していかねばなりません。

 とっかかり方ですが大きく分けて3種類あります。

① 幾何的に解く

②座標を設定する

③ベクトルを導入する

です。この三つの解き方が存在することは知っていても、どう使い分けていくのかは知らない人が意外と多い。逆に優秀な人はどういう問題にどういう解き方が強いのか、知っているのですね。

 以前下の記事でも書きましたが、数学が強い人と弱い人の差は、知っている解法の数の差というよりも、どういう場面でどの解法を使うべきなのかという知識の差なのです。

 数学の解法それ自体の数は決して多くありません。多少学習を進めていけば、どんな解法も見たことはある状態になるでしょう。実際にみなさんも数学の解答を見て、「へぇ、こんな解き方があったのか」と思うことよりは「あっ、この解き方を選んでいれば解けたのか」と思うことの方が多いでしょう。(いや、解法を知らないこともそれなりにはあるでしょうが)

 ですから、それぞれの解法を使う適切な場面までしっかりと押さえておきましょう。それでは以下、3つの解法の特徴について書いていきます。

幾何的に解く

 一つ目ですが、幾何的に解く方法です。方べきの定理やメネラウスの定理、あるいは補助線を引いて解く問題のことですね。三角関数(余弦定理や正弦定理)を用いる解法もここに含んで良いでしょう。この解法でしか解けない問題は難関大(特に東大)ではそう多くないです。東大も昔は幾何的な発想が必要な問題が多く出ていて「図形の東大」と一部の界隈で呼ばれていたらしいのですが、最近は下火です。

 じゃあ要らないか、というとそんなことは決してありません。幾何的に解く方法は、発想は困難だが思いついたら一瞬という特徴があります。そして他の方法で解く、すなわちベクトルや座標をおいて解いていくのがメインの問題でも、その途中に幾何的な考察をすることで計算をショートカットできることはままあります。

 すなわち幾何的な発想力がないからといって終戦を迎えてしまう確率は低いですが、この能力を磨いておくとふとした場面で役に立つことが多いのですね。また特に幾何の定理は全般的に盲点になりやすいのですが、正弦定理なんかはこれを使わないと解けない場面も多々ある印象です。以下の二つに比べれば正直重要度は高くはありませんが、最低限の能力は必須です。なるべく常に、行き詰まったら幾何的な考えが突破口にならないか考えてみてください。

 あと時々異様に幾何的な能力が発達している人がいますよね。図形問題も難しくなってくると多角形が回ったりしてきますが、それを難なくイメージできる人。この能力は一朝一夕に身につくものではありませんし、イメージできないと解けないような問題はまずないので、一部の化け物を見て焦らなくても良いです。

座標を設定する

 二つ目は座標を設定する問題です。座標は、解ける問題の幅は広いが計算量が多いことが特徴です。座標を置いて問題を解くことはしばしば「機械的」と表現されますが、まさしくその言葉がぴったりです。

 座標で解く際は未知数を全て文字で表し、条件を数式で落とし込んでいくだけですから、非常に単純です。とはいえ、直角が多く出てくる問題だと特に座標を設定するメリットが大きいですね。直角になっている部分を座標軸上にのせられて、「0」になる座標が増えますから。そうすると計算が楽になります。

 座標で解く際は計算を楽にしようという意識を持ってください。どこを原点にしたら「0」となる座標が増えて計算が楽になるか、幾何的な考察をすることで使う文字の数を減らせないか、そういった意識が必要です。

 人によっては計算量が増えることから、座標計算は他の手順で無理そうだった時の最終手段として使えと教えたりしますが、解ききるまでの流れが見えやすい解法ですから、座標で解けそうだと感じたらそのまま解き切って構わないと思います。他の解法に比べ時間がかかりやすいのは事実ですが、座標を使わないようにして迷ったりすると、かえって時間の無駄になりますから。

 また問題数はあまり多くありませんが、理系は普通の座標ではなく複素数平面を設定しないと解きにくい問題も存在します。回転させる問題や、図形の相似が絡むタイプの問題ですね。もともとバリエーションも多くない上に誘導がつくタイプが大半ですから、神経質になる必要はありませんが頭には入れておいてください。

 ベクトルで解く

 三つ目の解き方としてはベクトルが考えられます。ベクトルの特徴は、幾何ほどの発想も不要で計算量もそこまで多くないことでしょう。

 ベクトルが特に威力を発揮するのは、条件の少ない場合です。条件が少ないことから座標だと必要な文字数が膨大になり計算が破裂してしまう、こんな時にベクトルをおくとシンプルに解ききれることは非常に多い。京大がこういった問題をよく出しますが、大学を問わずこの手の問題では積極的にベクトルを使っていきましょう。

 平行条件を裁くタイプの問題もベクトルは有効ですね。同一ベクトルで表せますから。一方で角度を使う問題には弱いです。また垂直という条件を内積0で言い換える場面は多いですが、忘れられがちなので注意喚起しておきます。

 ベクトルで解く際も、座標と一緒でどこを始点にすれば一番楽になるかをいつも考えてください。適当におくと失敗します。始点の置き方に限らず、ベクトルの問題は独特の慣れが必要な問題がかなり多いですから、しっかりとベクトル独自の手法が身についているか確認してくださいね。

終わりに 図形全体の注意

 最後に図形問題全般にまつわる注意をいくつか。一つ目ですが、図形問題では正確な図を描けるかどうかが結構大事なことを認識してください。大抵の人は図形問題を解くとき、自分で図を描いて描きますよね。ここで正確にかけると、「あれ、ここは直角になりそう」みたいな勘が働くわけです。もちろんこれは当たることもあれば外れることもありますが、一つの着眼を生み出すわけですから図の正確性は侮れません。

 もう一つは、思い込みを捨てることです。与えられた条件からは図形が二通り考えられるにも関わらず、1通りしかないと思い込みそのまま解き進めてしまうというのは全く珍しくありません。例えば二辺と一角(夾角ではない)が決まった三角形は2通り考えられるのですが、1通りと勘違いしてしまう人が多発するのが良い例ですね。(分からない人は二辺一角相当、でネット検索してみてください)このミスは命取りであるにも関わらず頻発しますから、一番最初に条件を図示する場面では絶対警戒してください。

 図形はセンスなんて言われたりしますが、今まで書いてきたことを意識すれば、使うべき解法で迷う場面は減るはずです。あとはそれぞれの解法の中での技を身につけていけば、解ける問題は一気に増えていくことでしょう。皆さんがこの記事を読んだことを機に、図形への苦手意識が減るよう願っています。

ツイッターやっています。執筆のモチベーションとなるのでフォローよろしくお願いします。

コメント

タイトルとURLをコピーしました